Question

下圖1，已知拋物線C經過原點，對稱軸x＝－3與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且tan∠MON＝3．

(1)求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C’，拋物線C’與x軸的另一交點為A，B為拋物線C’上橫向坐標為2的點．

①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；

②過線段OA上的兩點E、F分別作x軸的垂線，交折線O–B－A于點E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作下圖2所示的等邊△EE₁E₂、等邊△FF₁F₂，點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動，當△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時，求時間t的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)對稱軸MN的解析式為x＝－3，ON＝3，tan∠MON＝3，MN＝9，M(－3，－9)， 　　令拋物線C的解析式為y＝a(x＋3)2－9，它經過原點，則0＝a(0＋3)2－9，a＝1， 　　y＝1(x＋3)2－9＝x2＋6x，所以拋物線C的解析式為y＝x2＋6x； 　　(2)①拋物線C’的解析式為 　　y＝－x2＋6x，當y＝0時，x＝0或6，點A的坐標為(6，0)，點B在拋物線C’上，且其橫坐標為2，y＝8，有點B(2，8)，直線AB的解析式為 　　y＝－2x＋12，點P在線段AB上，令點P的坐標為(p，－2p＋12)， 　　S△APD＝p(－2p＋12)＝－p2＋6p＝－(p－3)2＋9，當p＝3(2＜3＜8)時， 　　S△APD的max值為9；http：∥www．xkb1．com 　�、趽�(2)①知，直線OB解析式為y＝4x， 　　直線AB解析式為y＝－2x＋12； 　　圖3，∵EE1∥FF1，△EE1E2、△FF1F2是等邊三角形，∴E1E2∥FF2，EE2∥F1F2， 　　直線EE1的解析式為x＝t，直線FF1的解析式為x＝6－t，令E1(t，y)則有E(t，0)、 　　E2(t＋，)，設直線EE2的解析式為 　　y＝x＋a，直線F1F2的解析式為y＝x＋b，直線E1E2的解析式 　　為y＝－x＋c，直線FF2的解析式為y＝－x＋d， 　�、瘛�當EE1與FF1在同一直線上時，x＝t＝6－t，t＝3； 　�、颉�當0≤t≤2時，點E1在直線OB上，點F1在直線AB上，有E(t，0)、E1(t，4t)、F(6－t，0)、F1(6－t，2t) 　　(a)當EE2與F1F2在同一直線上時，有0＝t＋a，a＝－t， 　　2t＝(6－t)＋b，b＝(2＋)t－2，a＝b，－t＝(2＋)t－2， 　　t＝； 　　(b)當E1E2與FF2在同一直線上時，有4t＝－t＋c，c＝(4＋)t， 　　0＝－(6－t)＋d，d＝2－t，c＝d，(4＋)t＝2－t， 　　t＝； 　　通過作圖觀察可知，當2＜t≤6時，EE1與FF1不可能在同一直線上，E1E2與FF2也不可能在同一直線上． 　　綜上所述，當△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時，t的值為3，或． 　　下面的討論旨在說明2＜t≤6時，EE1與FF1、E1E2與FF2的位置關系，答題時可以省去． 　�、蟆�當2＜t≤4時，點E1在直線AB上，點F1在直線AB上，有E(t，0)、E1(t，－2t＋12)、F(6－t，0)、F1(6－t，2t) 　　(a)當EE2與F1F2在同一直線上時，有0＝t＋a，a＝－t， 　　2t＝ (6－t)＋b，b＝(2＋)t－2，a＝b，－t＝(2＋)t－2， 　　t＝(＜2，舍去)； 　　(b)當E1E2與FF2在同一直線上時，有－2t＋12＝－t＋c，c＝(－2)t＋12， 　　0＝－ (6－t)＋d，d＝2－t，c＝d，(－2)t＋12＝2－t， 　　t＝(＞4，舍去)； 　�、�、當4＜t≤6時，點E1在直線AB上，點F1在直線OB上，有E(t，0)、E1(t，－2t＋12)、F(6－t，0)、F1(6－t，24－4t)，wWw．xKb1．coM 　　(a)當EE2與F1F2在同一直線上時，有0＝t＋a，a＝－t， 　　24－4t＝(6－t)＋b，b＝24－2＋t－4t，a＝b， 　�。�t＝24－2＋t－4t，t＝(＞6，舍去)； 　　(b)當E1E2與FF2在同一直線上時，有－2t＋12＝－t＋c，c＝12＋t－2t，0＝－ (6－t)＋d，d＝2－t，c＝d， 　　12＋t－2t＝2－t，t＝(＞6，舍去)； 　　綜上所述，當△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時， 　　t的值為3，或．