Question

如圖，已知．

（1）請你在邊上分別取兩點（的中點除外），連結，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；

（2）請你根據使（1）成立的相應條件，證明．

Answer 1

解：（1）如圖1，；

（2）證法一：如圖2，分別過點D，B作CA，EA的平行線，兩線交于F點，DF與AB交于G點。

所以，。

在和中，又CE=BD，

可證。

所以AC=FD，AE=FB。

在中，AG+DG>AD，

在中，BG+FG>FB，

所以AG+DG-AD>0，BG+FG-FB>0。

所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0。

即AB+FD>AD+FB。

所以AB+AC>AD+AE。

證法二：如圖3，分別過點A，E作CB，CA，的平行線，兩線交于F點，EF與AB交于G點，連結BF。

則四邊形EFCA是平行四邊形。

所以FE=AC，AF=CE。

因為BD=CE，

所以BD=AF。

所以四邊形是平行四邊形。

所以FB=AD。

在中，AG+EG>AE，

在中，BG+FG>FB，

可推得AG+EG+BG+FG>AE+FB。

所以AB+AC>AD+AE。

證法三：如圖4，取DE的中點O，連結AO并延長到F點，使得FO=AO，連結EF，CF。

在和中，又，DO=EO。

可證。

所以AD=FE。

因為BD=CE，DO=EO，

所以BO=CO。

同理可證。

所以AB=FC。

延長AE交CF于G點。

在中，AC+CG>AE+EG，

在中，EG+FG>EF。

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF。

即AC+CF>AE+EF。

所以AB+AC>AD+AE。