Question

已知點P，Q，R分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：首先根據題意畫出圖形，利用正弦定理表達出三角形的面積，再確定當角為多少度時三角形面積取得最大值．

解答：解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，
由上可推出BC=2（cosB+cosC），
AB=BC

sinC

sinA

，AC=BC

sinB

sinA

，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC×sinA，
∵三邊固定，當面積最大時，sinA=1，∠A=90°，
又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP
所以△APR相似于△QPR
因為PR邊公用，所以AP=AR=QP=QR=1
AB=AC=2，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC×sinA=2．

點評：本題考查了函數的最值及全等三角形的性質，難度較大，關鍵利用正弦定理表達出面積，由已知條件求出三角形邊長．