Question

【題目】如圖，已知一次函數y=﹣x+4的圖象是直線l，設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B．

（1）求線段AB的長度；

（2）設點M在射線AB上，將點M繞點A按逆時針方向旋轉90°到點N，以點N為圓心，NA的長為半徑作⊙N．

①當⊙N與x軸相切時，求點M的坐標；

②在①的條件下，設直線AN與x軸交于點C，與⊙N的另一個交點為D，連接MD交x軸于點E，直線m過點N分別與y軸、直線l交于點P、Q，當△APQ與△CDE相似時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AB=5；（2）①M(6,-4)；②（0，14）或（0，-6）．

【解析】

（1）由一次函數解析式容易求得A、B的坐標，利用勾股定理可求得AB的長度；

（2）①根據同角的三角函數得：tan∠OAB=，設EM=3x，AE=4x，則AM=5x，得M（3x，-4x+4），證明△AHN≌△MEA，則AH=EM=3x，根據NG=OH，列式可得x的值，計算M的坐標即可；

②如圖2，先計算E與G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ與△CDE相似時，頂點C必與頂點A對應，可分兩種情況進行討論：

i）當△DCE∽△QAP時，證明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO=，根據三角函數得：tan∠QNA=tan∠DNF=，AQ=20，則tan∠QAH=tan∠OAB=，設QH=3x，AH=4x，則AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；

ii）當△DCE∽△PAQ時，如圖3，先證明B與Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）．

（1）當x=0時，y=4，

∴A（0，4），

∴OA=4，

當y=0時，-x+4=0，

x=3，

∴B（3，0），

∴OB=3，

由勾股定理得：AB=5；

（2）①如圖1，過N作NH⊥y軸于H，過M作ME⊥y軸于E，

tan∠OAB=，

∴設EM=3x，AE=4x，則AM=5x，

∴M（3x，-4x+4），

由旋轉得：AM=AN，∠MAN=90°，

∴∠EAM+∠HAN=90°，

∵∠EAM+∠AME=90°，

∴∠HAN=∠AME，

∵∠AHN=∠AEM=90°，

∴△AHN≌△MEA，

∴AH=EM=3x，

∵⊙N與x軸相切，設切點為G，連接NG，則NG⊥x軸，

∴NG=OH，

則5x=3x+4，

2x=4，

x=2，

∴M（6，-4）；

②如圖2，由①知N（8，10），

∵AN=DN，A（0，4），

∴D（16，16），

設直線DM：y=kx+b，

把D（16，16）和M（6，-4）代入得：

，

解得：，

∴直線DM的解析式為：y=2x-16，

∵直線DM交x軸于E，

∴當y=0時，2x-16=0，

x=8，

∴E（8，0），

由①知：⊙N與x軸相切，切點為G，且G（8，0），

∴E與切點G重合，

∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，

∴△APQ與△CDE相似時，頂點C必與頂點A對應，

分兩種情況：

i）當△DCE∽△QAP時，如圖2，∠AQP=∠NDE，

∵∠QNA=∠DNF，

∴∠NFD=∠QAN=90°，

∵AO∥NE，

∴△ACO∽△NCE，

∴，

∴，

∴CO=，

連接BN，

∴AB=BE=5，

∵∠BAN=∠BEN=90°，

∴∠ANB=∠ENB，

∵EN=ND，

∴∠NDE=∠NED，

∵∠CNE=∠NDE+∠NED，

∴∠ANB=∠NDE，

∴BN∥DE，

Rt△ABN中，BN=，

sin∠ANB=∠NDE=，

∴，

∴NF=2，

∴DF=4，

∵∠QNA=∠DNF，

∴tan∠QNA=tan∠DNF=，

∴，

∴AQ=20，

∵tan∠QAH=tan∠OAB=，

設QH=3x，AH=4x，則AQ=5x，

∴5x=20，

x=4，

∴QH=3x=12，AH=16，

∴Q（-12，20），

同理易得：直線NQ的解析式：y=-x+14，

∴P（0，14）；

ii）當△DCE∽△PAQ時，如圖3，

∴∠APN=∠CDE，

∵∠ANB=∠CDE，

∵AP∥NG，

∴∠APN=∠PNE，

∴∠APN=∠PNE=∠ANB，

∴B與Q重合，

∴AN=AP=10，

∴OP=AP-OA=10-4=6，

∴P（0，-6）；

綜上所述，△APQ與△CDE相似時，點P的坐標的坐標（0，14）或（0，-6）．