Question

已知：拋物線的頂點為A（1，0）
（1）求F₁的函數解析式；
（2）如圖，直線交x軸于點C，交y軸于點D，在拋物線F₁上有一點B，且點B與點A關于直線對稱，若拋物線F₂的頂點為點B，且經過點A，試求拋物線F₂的函數解析式；
（3）將（2）中求得的拋物線F₂向左平移n個單位得拋物線F₃，拋物線F₃的頂點為點P，是否存在n使得tan∠BAP=？若存在試求n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設F₁的函數解析式為y=（x-h）²+k，然后將頂點坐標代入即可求解；
（2）設直線交x軸于點C，交y軸于點D，那么CD垂直平分AB，不難證明△ABE∽△CDO，由于OC=2b，OD=b，故BE=2AE，可求得直線AB為y=-2x+2，與F₁聯立可求得點B的坐標為（-1，4），故可得拋物線的解析式；
（3）如圖，過點B作BF⊥AC于點F，過點F作FD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥DF于點E，易證△BEF∽△FDA，則，又FE+FD=4，AD-BE=2，故可求得F，故直線AF的解析式為，又由于點P的縱坐標為4，故P（-7，4），得n=6．
解答：解：（1）設F₁的函數解析式為y=（x-h）²+k，
∵拋物線的頂點為A（1，0）
∴y=（x-1）²+0
即F₁的解析式為：；

（2）如圖，設直線交x軸于點C，交y軸于點D，那么CD垂直平分AB．
當y=0時，x=-2b，即C（-2b，0）．
當x=0時，y=b，即D（0，b）．
則OC=2b，OD=b．
易證△ABE∽△CDO，故=，
∴BE=2AE，
∴直線AB為y=-2x+2，
∴根據題意得：
解得：（不合題意，舍去）或
∴點B的坐標為（-1，4）．
∵拋物線F₂的頂點為點B，
∴設F₂的函數解析式為y=a（x+1）²+4．
又∵拋物線F₂經過點A（1，0），
∴F₂的函數解析式為0=a（1+1）²+4，
解得：a=-1，
∴

（3）存在n使得tan∠BAP=．理由如下：
如圖3，過點B作BF⊥AP于點F，過點F作直線FG⊥x軸于點G，交BP于點H．
易證△BHF∽△FGA，則，又FG+FH=4，AG-BH=2，故可求得F，
故直線AF的解析式為，
又由于點P的縱坐標為4，故P（-7，4），得n=6．
點評：本題考查了二次函數綜合題．此題涉及到的知識點有：待定系數法求二次函數、一次函數解析式，相似三角形的判定與性質，平移的性質等．解答（3）題，注意構造相似三角形的輔助線的作法．