Question

在平面直角坐標系中,直線經過點A（,4）,且與軸相交于點C.點B在軸上,O為為坐標原點,且.記的面積為S.
（1）求m的取值范圍;
（2）求S關于m的函數關系式;
（3）設點B在軸的正半軸上,當S取得最大值時,將沿AC折疊得到,求點的坐標.

Answer 1

（1）（2），（3）（）

⑴∵直線經過點A（,4）,∴,
∴.∵,∴.解得.
⑵∵A的坐標是（,4）,∴OA=.
又∵,∴OB=7.∴B點的坐標為(0,7)或(0,-7).
直線與軸的交點為C(0,m).
①                  當點B的坐標是(0,7)時,由于C(0,m), ,故BC="7-" m.
∴.
②當點B的坐標是(0,-7)時,由于C(0,m), ,故BC="7+m."
∴.
⑶當m=2時,一次函數取得最大值,這時C(0,2).
如圖,分別過點A、B′作軸的垂線AD、B′E,垂足為D、E.則AD=,CD=4-2=2.在Rt中,tan∠ACD=,∴∠ACD=60°.由題意,得∠AC B′=∠ACD=60°,C B′=BC=7-2=5,∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°.
在Rt中,∠B′CE=60°,C B′=5,∴CE=,B′E=.故OE=CE-OC=.
∴點B′的的坐標為（）

（1）根據點在直線上的意義可知 ，k=1-m．因為，即．解得2≤m≤6．
（2）根據題意易得：OA=，OB=7．所以B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．直線與y軸的交點為C（0，m）．
當點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S= （7-m）；
當點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=（7+m）．
（3）分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
利用Rt△ACD中的關系：tan∠ACD= ，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關系可求得，CE=，B′E= ．故OE=CE-OC=．所以點B′的坐標為（ ,- ）．