Question

如圖①，將□ABCD置于直角坐標系中，其中BC邊在x軸上（B在C的左邊），點D坐標為（0,4），直線MN：沿著x軸的負方向以每秒1個單位的長度平移，設在平移過程中該直線被□ABCD截得的線段長度為m，平移時間為t，m與t的函數圖像如圖②所示．
（1）填空：點C的坐標為   ；
在平移過程中，該直線先經過B、D中的哪一點？   ；（填“B”或“D”）
（2）點B的坐標為   ，n＝   ，a＝   ；
（3）求圖②中線段EF的解析式；
（4）t為何值時，該直線平分□ABCD的面積？

Answer 1

(1) C（3，0），B；（2）B（-2，0），4，,（3）；（4）.

解析試題分析：（1）根據直線解析式求出點M、N的坐標，再根據圖2判斷出CM的長，然后求出OC，從而得到點C的坐標，根據被截線段在一段時間內長度不變可以判斷出先經過點B后經過點D；
（2）根據圖2求出BM=10，再求出OB，然后寫出點B的坐標，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的長度，從而得到BC=CD，判斷出?ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根據菱形的性質可知n=DO，根據向左平移橫坐標減表示出平移后的直線解析式，把點D的坐標代入函數解析式求出t的值即為a；
（3）根據菱形的性質寫出點A的坐標，再求出F的坐標，然后設直線EF的解析式為y=kx+b，再利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（4）根據過平行四邊形中心的直線平分平行四邊形的面積，求出菱形的中心坐標，然后代入直線MN的解析式計算即可得解．
（1）令y=0，則x-6=0，解得x=8，
令x=0，則y=-6，
∴點M（8，0），N（0，-6），
∴OM=8，ON=6，
由圖2可知5秒后直線經過點C，
∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，
∴C（3，0），
∵10秒～a秒被截線段長度不變，
∴先經過點B；
（2）由圖2可知BM=10，
∴OB=BM-OM=10-8=2，
∴B（-2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，，
∴BC-CD=5，
∴?ABCD是菱形，
∵，
∴MN⊥CD，
∴n=DO=4，
∵設直線MN向x軸負方向平移的速度為每秒1個單位的長度，
平移后的直線解析式為y=（x+t）-6，
把點D（0，4）代入得，
（0+t）-6=4，
解得t=，
∴a=；
（3）由（2）可得點E的坐標為（，4），
由菱形的性質，點A（-5，4），
代入直線平移后的解析式得，
（-5+t）-6=4，
解得t=，
∴點F（，0）
設直線EF的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以線段EF的解析式為：；
（4）∵B（-2，0），D（0，4），
∴?ABCD的中心坐標為（-1，2），
∵直線M平分?ABCD的面積，
∴直線MN經過中心坐標，
∴（-1+t）-6=2，
解得t=，
即t=時，該直線平分?ABCD的面積．
考點: 一次函數綜合題．