Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過點A（-1，0），B（3，0）其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上一個動點（不與B，D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果點P的坐標為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF在這條拋物線上是否存在一點Q，使得直線EF為線段PQ的垂直平分線？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過（-1，0）B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本題首先設出BD解析式y=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據（2）得出最大值來，求出點P的坐標，得出四邊形PEOF是矩形，再作點P關于直線EF的對稱點P′設出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標，判斷出不在拋物線上．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過點A（-1，0），B（3，0），
∴

0=a-b+3 0=9a+3b+3

解得

a=-1 b=2

，
拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）設BD的解析式為y=kx+b，則有

0=3k+b 4=k+b

解得

k=-2 b=6

，
∴BD的解析式為：y=-2x+6，
∵P的坐標為（x，y），
∴P的坐標為（x，-2x+6），
∴PE=x，
∴S=

(x+3)(-2x+6)

2

-

3(-2x+6)

2

，
∴S=-x²+3x   （1＜x＜3），
S=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴S的最大值為

9

4

．

（3）不存在．
當x=

3

2

時，y=-2×

3

2

+6=3，
∴P（

3

2

，3），
∴PF=3
∴四邊形PEOF是矩形．
作點P關于直線EF的對稱點P′，連接P′E，P′F．
過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M，
設MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（

3

2

）²+（3-m）²=m²，
解得m=

15

8

，
∴MF=MC=

15

8

，P′M=

9

8

∵△P′CM∽△HEP′
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

，
由△EHP′∽△EP′M，
可得 EH：EP′=EP′：EM，EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐標（-

9

10

，

9

5

）．
將x=-

9

10

代入拋物線的解析式，得y=

39

100

≠

9

5

∴不在拋物線上．

點評：本題考查了運用待定系數法求得函數的解析式；根據二次函數的解析式求得函數的最值；勾股定理、相似三角形的性質進行計算，注意數形結合的思想．