Question

如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作AB的平行線交AE的延長線于F，連結BF．
（1）求證：CF=BD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，求tan∠AFC的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥CF，
∴∠DAE=∠EFC，
∵E是CD的中點，
∴DE=CE，
∵在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∵AD=BD
∴CF=BD；

（2）四邊形CDBF是正方形，理由如下：
證明：∵CF∥BD，CF=BD，
∴四邊形CDBF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AB=BD，
∴四邊形CDBF是正方形；

（3）解：∵四邊形CDBF是正方形，
∴BF=BD，
∵AD=BD，
∴AB=2BF，
∵CF∥AB，
∴∠AFC=∠FAB，
∴tan∠AFC=tan∠FAB=．
分析：（1）根據全等三角形的判定方法可證明△ADE≌△FCE，所以CF=AD，因為D是AB的中點，所以AD=BD，所以CF=BD；
（2）四邊形CDBF是正方形，根據鄰邊相等和有一個角為90°的平行四邊形為正方形證明即可；
（3）由平行線的性質可得：∠AFC=∠BAF，所以求tan∠AFC的值可轉化為求tan∠FAB的值．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、正方形的判定和性質以及銳角三角函數的定義，題目的綜合性較強，難度中等．