Question

【題目】已知：如圖，四邊形 ABCD 內接于⊙ O ，AC 和 BD 相交于E ， BC = CD = 4 ， AE = 6 ，且 BE 和 DE 的長是正整數，求 BD 的 長．

Answer 1

【答案】7

【解析】

根據已知條件，易證△ABC∽△BEC，所以BC2=CEAC，即可求得EC=2，再證△BCE∽△ADE，可得BEDE的值，又線段BE、ED為正整數，且在△BCD中，BC+CD>BE+DE，所以可得BE、DE的長，即可得BD的長．

解：∵BC=CD，

∴∠BAC=∠DAC，

∵∠DBC=∠DAC，

∴∠BAC=∠DBC，

又∵∠BCE=∠ACB，

∴△ABC∽△BEC，

∴，

∴BC2=CEAC，

∵BC=CD=4，AE=6，

∴EC=2，

∵∠DBC=∠DAC，∠CEB=∠DEA，

∴△BCE∽△ADE，

∴，

∴BEDE=AEEC，

即BEDE=12，

又線段BE、ED為正整數，

且在△BCD中，BC+CD>BE+DE，

所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，

所以BD=BE+DE=7．