Question

已知，如圖①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，DC=6，AB=12，BC=10．Rt△EFG（∠EGF=90°）的邊EF與BC完全重合，FG與BA在同一直線上．現將Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移（如圖②），EF、EG分別交AC于點H、Q，同時點M以

5

2

cm/s的速度從點B出發沿BC向點C作勻速運動，連接FM，當點E運動到點D時，Rt△EFG和點M都停止運動．設點M運動的時間為t（s）

（1）當點Q是AC的中點時，求t的值；
（2）判斷四邊形CHFM的形狀，并說明理由；
（3）如圖③，連接HM，設四邊形ABMH的面積為s，求s與t的函數關系式及s的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據點Q是AC的中點時，得出EC=3，即可得出t的值即可；
（2）根據平行四邊形的判定與性質首先得出四邊形CEFB是平行四邊形，進而得出四邊形CHFM是平行四邊形；
（3）根據MN∥CR，得出

MN

CR

=

BM

BC

，進而求出MN的長，再利用三角形面積相等求出HW的長，進而利用三角形面積求出即可．

解答：解：（1）∵點Q是AC的中點時，得出E，G分別在DC，AG中點，
即EC=3，
∴t=1；

（2）平行四邊形　
理由：
∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移，點M以

5

2

cm/s的速度從點B出發沿BC向點C作勻速運動，
∴當運動t秒時，BF=3t，CE=

5

2

t，
∴

BF

AB

=

3t

12

=

t

4

，

BM

BC

=

5 2 t

10

=

t

4

，
∴

BF

AB

=

BM

BC

，
∴MF∥AC，
∵EC=BF（平移的性質），AB∥CD，
∴四邊形CEFB是平行四邊形，
∴EF∥BC，
∴HF∥CM，CH∥MF，
∴四邊形CHFM是平行四邊形；

（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，
∴MN∥CR，
∴

MN

CR

=

BM

BC

，
∵DC=6，AB=12，BC=10，將Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移（如圖②），EF、EG分別交AC于點H、Q，同時點M以

5

2

cm/s的速度從點B出發沿BC向點C作勻速運動，
∴

MN

8

=

5 2 t

10

，
∴MN=2t，
∵MN×FB=FZ×MB，
∴2t×3t=FZ×

5

2

t，
∴FZ=

12

5

t，
∴HW=

12

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△HMC，
=48-

1

2

×

12

5

t×（10-

5

2

t），
=3t²-12t+48
=3（t-2）²+36，
∴S_最小值=36．

點評：此題主要考查了三角形的面積求法以及相似三角形的判定與性質等知識，根據三角形面積公式求出S_△ABC與S_△HMC是解決問題的關鍵．