Question

【題目】正方形中，點是上一點，過點作交射線于點，連結．

（1）已知點在線段上.

①若，求度數；

②求證：.

（2）已知正方形邊長為，且，請直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）的長為或

【解析】

(1) ①根據正方形性質，求出；根據等腰三角形性質，求出的度數，即可求得.

②根據正方形對稱性得到；根據四邊形內角和證出；利用等角對等邊即可證出.

（2）分情況討論：①當點F在線段BC上時; ②當點F在線段CB延長線上時;根據正方形的對稱性，證出；再根據等腰三角形的性質，求出線段NC，BN；利用勾股定理，求出BE、BD，進而求出DE.

解：（1）①為正方形，

．

又，

．

②證明：正方形關于對稱，

，

．

又，

又

，

，

．

（2）①當點F在線段BC上時，過E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M，如圖1所示：

∴N是CF的中點，

∴BF=1，∴CF=1

又∵四邊形CDMN是矩形

∴為等腰直角三角形

∴

②當點F在線段CB延長線上時，如圖2所示：

過點E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M

∵正方形ABCD關于BD對稱

又∵

又

∴FC=3

∴

∴

∴ ,

綜上所述，的長為或