Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝x2－2x，其頂點為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”

①試求拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標；

②平移拋物線y＝x2－2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式.

Answer 1

【答案】(l)拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.

【解析】

（1），故該拋物線開口向上，頂點的坐標為；

（2）①設拋物線“不動點”坐標為，則，即可求解；②新拋物線頂點為“不動點”，則設點，則新拋物線的對稱軸為：，與軸的交點，四邊形是梯形，則直線在軸左側，而點，點，則，即可求解.

(l)，

拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，

拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升的.

(2)①設拋物線y＝x2－2x的“不動點”坐標為(t，t).

則t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.

所以，拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標是(0，0)、(3，3).

②∵新拋物線的頂點B是其“不動點”，∴設點B的坐標為(m，m)

∴新拋物線的對稱軸為直線x＝m，與x軸的交點為C(m，0)

∵四邊形OABC是梯形，

∴直線x＝m在y軸左側.

∵BC與OA不平行

∴OC∥AB.

又∵點A的坐標為(1，一1)，點B的坐標為(m，m)，

m＝－1.

∴新拋物線是由拋物線y＝x2－2x向左平移2個單位得到的，

∴新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.