解:(1)C(2,2

),OB=4

cm。
(2)①當0<t≤4時,
過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1),

則QD=

t。
∴S=

OP·QD=

t
2。
②當4<t≤8時,
作QE⊥x軸于點E(如圖2),

則QE=2

。
∴S =

DP·QE=

t。
③當8<t<12時,
延長QP交x軸于點F,過點P作PH⊥AF于點H(如圖3)。

易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形,
∴OF=OA+AP=t,AP=t-8!郟H=

(t-8)。
∴

=

t·2

-

t·

(t-8)
=-

t
2+3

t。
綜上所述,

。
∵①②中S隨t的增加而增加,
③中


,S隨t的增加而減小,
∴當t=8時,S最大。
(3)①當△OPM∽△OAB時(如圖4),

則PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at-4=t,即a=1+

。 t的取值范圍是0<t≤8。
②當△OPM∽△OBA時(如圖5),

則

, 即

。∴OM=

。
又∵QB∥OP,∴△BQM~△OPM。
∴

,即

。
整理得t-at=2,即a=1-

,t的取值范圍是6≤t≤8。
綜上所述:a=1+

(0<t≤8)或a=1-

(6≤t≤8)。
(1)如圖,過點C、B分別作x的垂線于點M、N,

則在Rt△COM中,由∠AOC=60
o,OC=4,應用銳角三角函數定義,可求得OM=2,CM=2

,
∴ C(2,2

)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2

,
ON=10,在Rt△OBN中,由勾股定理,得OB=4

。
(2)分0<t≤4,4<t≤8和8<t<12分別討論,得到函數關系式后根據一次函數和二次函數的性質求出S最大時t的值。
(3)分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA兩種情況討論即可。