Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，（3）45°

【解析】

（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值；

（2）設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），然后根據面積關系將△ABM的面積進行轉化；

（3）由（2）可知m＝，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值,從而得到M′的坐標，然后將求d1+d2最大值轉化為求AC的最小值即可．

解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，

∴y＝3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴3＝﹣3a，

∴a＝﹣1，

∴二次函數解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，

∴0＝﹣x2+2x+3，

∴x＝﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，

∵M在拋物線上，且在第一象限內，

∴0＜m＜3，

令y＝0代入y＝﹣3x+3，

∴x＝1，

∴A的坐標為（1，0），

由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），連接OM

S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB

＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3

＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，S取得最大值．

（3）由（2）可知：M′的坐標為（，）；

過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，

根據題意知：d1+d2＝BF，

此時只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′＝90°，

∴點F在以BM′為直徑的圓上，

設直線AM′與該圓相交于點H，

∵點C在線段BM′上，

∴F在優弧上，

∴當F與M′重合時，

BF可取得最大值，

此時BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（，），

∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，

過點M′作M′G⊥AB于點G，

設BG＝x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，

∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，

∴x＝，

cos∠M′BG＝＝，

∵l1∥l′，

∴∠BCA＝90°，

∠BAC＝45°；