Question

梯形ABCE中，AD∥BC，DC⊥BC，CE⊥AB于點E，點F在邊CD上，且BE•CE=BC•CF．

（1）求證：AE•CF=BE•DF；

（2）若點E為AB中點，求證：AD•BC=2EC2-BC2．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出∠B=∠DCE，證△BCE∽△CEF，推出∠BCE=∠CEF，推出EF∥BC，根據平行線分線段成比例定理得出即可．

（2）求出EF=（AD+BC），根據相似三角形的性質得出CE2=BC•EF，代入求出即可．

試題解析：（1）∵CE⊥AB，

∴∠B+∠BCE=90°，

∵DC⊥BC，

∴∠DCE+∠BCE=90°，

∴∠B=∠DCE，

∵BE×CE=BC×CF，

∴，

∴△BCE∽△CEF，

∴∠BCE=∠CEF，

∴EF∥BC，

∴，

即AE•CF=BE•DF．

（2）∵在梯形ABCD中，EF∥BC∥AD，E為AB中點，

∴F為DC的中點，

∴EF=（AD+BC），

∵△BCE∽△CEF，

∴，即CE2=BC•EF，

∴CE2=（AD+BC）•BC，

整理得：AD•BC=2EC2-BC2．

考點：相似三角形的判定與性質．