Question

在四邊形中，，且．取的中點，連結．

（1）試判斷三角形的形狀；

（2）在線段上，是否存在點，使．若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）等腰直角三角形（2）存在，當時，有一點，；當時，有兩點，

【解析】解：（1）在四邊形中，，，

四邊形為直角梯形（或矩形）．

過點作，垂足為，，

又點是的中點，點是的中點，

又，

，

與是全等的等腰直角三角形，

，

是等腰直角三角形．

（2）存在點使．

以為直徑，為圓心作圓．

當時，四邊形為矩形，，

圓與相切于點，此時，點與點重合，存在點，使得，

此時．

當時，四邊形為直角梯形，

，，圓心到的距離小于圓的半徑，圓與相交，上存在兩點，使，

過點作，在中，，

連結，則，

在直角三角形中，，

．

同理可得：．

綜上所述，在線段上存在點，使．

當時，有一點，；當時，有兩點，．

根據已知條件，得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形．

（1）過點P作PQ⊥BC，易證PQ=BQ=QC，則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．

（2）判斷在線段BC上，是否存在點M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性質與判定得出即可．