Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，點的坐標分別為，
小題1:求過點的直線的函數表達式
小題2:在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；
小題3:在⑵的條件下，如分別是和上的動點，連接，設，問是否存在這樣的使得與相似，如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:∵點A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，B點坐標為（1，3），
設過點A，B的直線的函數表達式為y=kx+b，
由 0=k×(-3)+b ，
3=k+b
解得k= ，b= ，
∴直線AB的函數表達式為y= x+
小題2:如圖，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D點為所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）；
小題3:這樣的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如圖1，
當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，則，
解得m= ，
如圖2，
當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，
則
解得m= ．

主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．