Question

有一臺單功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數x₁，只顯示不運算，接著再輸入整數x₂后則顯示|x₁-x₂|的結果．比如依次輸入1，2，則輸出的結果是|1-2|=1；此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算．
（1）若小明依次輸入3，4，5，則最后輸出的結果是______；
（2）若小明將1到2011這2011個整數隨意地一個一個的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m，則m的最大值為______；
（3）若小明將1到n（n≥3）這n個正整數隨意地一個一個的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m．探究m的最小值和最大值．

Answer 1

（1）根據題意可以得出：||3-4|-5|=|1-5|=4；      
故答案為：4．
          
（2）由于輸入的數都是非負數．當x₁≥0，x₂≥0時，|x₁-x₂|不超過x₁，x₂中最大的數．
對x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0，則||x₁-x₂|-x₃|不超過x₁，x₂，x₃中最大的數．
小明輸入這2011個數設次序是x₁，x₂，x₂₀₁₁，
相當于計算：||||x₁-x₂|-x₃|-x₂₀₁₁|-x₂₀₁₁|=P．因此P的值≤2011．
另外從運算奇偶性分析，x₁，x₂為整數．
|x₁-x₂|與x₁+x₂奇偶性相同．因此P與x₁+x₂+…+x₂₀₁₁的奇偶性相同．
但x₁+x₂+…+x₂₀₁₁=1+2+2011=偶數．于是斷定P≤2010．我們證明P可以取到2010．
對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||（4k+1）-（4k+3）|（4k+4）|-（4k+2）=|0，對k=0，1，2，均成立．
因此，1-2009可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為0．而后||2009-2010|-2011|=2010．
所以P的最大值為2010．
故答案為：2010；        
      
（3）對于任意兩個正整數x₁，x₂，|x₁-x₂|一定不超過x₁和x₂中較大的一個，對于任意三個正整數x₁，x₂，x₃，
||x₁-x₂|-x₃|一定不超過x₁，x₂和x₃中最大的一個，
以此類推，設小明輸入的n個數的順序為x₁，x₂，…x_n，則m=|||…|x₁-x₂|-x₃|-…|-x_n|，
m一定不超過x₁，x₂，…x_n，中的最大數，所以0≤m≤n，易知m與1+2+…+n的奇偶性相同；
1，2，3可以通過這種方式得到0：||3-2|-1|=0；
任意四個連續的正整數可以通過這種方式得到0：|||a-（a+1）|-（a+3）|-（a+2）|=0（*）；
下面根據前面分析的奇偶性進行構造，其中k為非負整數，連續四個正整數結合指的是按（*）式結構計算．
當n=4k時，1+2+…+n為偶數，則m為偶數，連續四個正整數結合可得到0，則最小值為0，前三個結合得到0，接下來連續四個結合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當n=4k+1時，1+2+…+n為奇數，則m為奇數，除1外，連續四個正整數結合得到0，則最小值為1，從1開始連續四個正整數結合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當n=4k+2時，1+2+…+n為奇數，則m為奇數，從1開始連續四個正整數結合得到0，僅剩下n和n-1，
則最小值為1，
從2開始連續四個正整數結合得到0，僅剩下1和n，最大值為n-1；
當n=4k+3時，1+2+…+n為偶數，則m為偶數，前三個結合得到0，接下來連續四個正整數結合得到0，
則最小值為0，從3開始連續四個正整數結合得到0，僅剩下1，2和n，
則最大值為n-1．