Question

【題目】如圖，若△ABC內一點P滿足∠PAC=∠PCB=∠PBA，則稱點P為△ABC的布羅卡爾點，三角形的布羅卡爾點是法國數學家和數學教育家克雷爾首次發現，后來被數學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發現，并用他的名字命名，布羅卡爾點的再次發現，引發了研究“三角形幾何”的熱潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P為△ABC的布羅卡爾點，若PA=，則PB+PC=_____．

Answer 1

【答案】1+．

【解析】

作CH⊥AB于H．首先證明BC=BC，再證明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PB、PC.

作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB=2BH=2BCcos30°=BC，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，

∴，

∵PA=，

∴PB=1，PC=，

∴PB+PC=1+．

故答案為1+．