Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），動點M，N同時從B點出發，分別沿BA，BC方向運動，速度都是1厘米/秒，過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q，當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某個時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知，當t=1秒時，BN=BM=1，
∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴，
即，
解得，PM=；

（2）如圖示，作出△PNB和△PAD，則BM和AM分別是它們的高，
若△PNB∽△PAD，則，即，解得，t=2．
即t=2時，△PNB∽△PAD，相似比為．

（3）設BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴，∴，
∴，
所以由題意得，=，
解得x=，所以0≤≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范圍是3＜a≤6．

補充：設BN=BM=x，則PM=，
使梯形PMBN和梯形PQDN面積相等，由（3）得3＜a≤6；
若它們的面積都等于梯形PQCN的面積，
∴S_梯形PMBN=S_矩形BCQM
即[+x]•t=•3•t，
解得t=a，a＞3，
∴t=a，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范圍是3＜a≤6．
分析：（1）由題意知，當t=1秒時，BN=BM=1，又因為PM⊥BC，所以△APM∽△ANB，根據相似三角形的性質，可以求出PM的值．
（2）根據題意，作出圖形，當△PNB∽△PAD時，對應邊之比等于高之比，即，進而可以求出時間t．
（3）設BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表達出兩個梯形的面積，求出x的值，進而求出a的取值．
點評：能夠利用平行線判定相似三角形，并且利用相似的性質列出比例式是解題的關鍵．