Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，A點在x軸上，C點在y軸上，矩形一角經過翻折后，頂點B落在OA邊的點G處，折痕為EF，F點的坐標是（4，1），∠FGA=30°．

（1）求B點坐標．
（2）求直線EF解析式．
（3）若點M在y軸上，直線EF上是否存在點N，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F點的坐標是（4，1），

∴FA=1，OA=4，

∵∠FGA=30°，

∴GA= ，FG=2，

由折疊的性質知BF=FG=2，

∴AB=3，

∵四邊形OABC為矩形，

∴CB=OA=4，

∴B點坐標為（4，3）；

（2）解：∠AFG=90°﹣30°=60°，由折疊的性質知∠EFB=∠EFG= （180°﹣60°）=60°，

∴BE= BF=2 ，

∴CE=4﹣2 ，

∴E（4﹣2 ，4），

設直線EF的解析式是y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴直線EF的解析式是y=﹣ x+2 +1

（3）解：①如圖1中，當四邊形MNGF是平行四邊形時，易知點N的橫坐標為﹣ ，

∵點N在直線EF上，

∴N（﹣ ，2 + ）．

②如圖2中，當四邊形MNFG是平行四邊形時，易知點N的橫坐標為 ，

∵點N在直線EF上，

∴N（ ，2 ﹣ ）．

③如圖3中，當四邊形MFNG是平行四邊形時，易知點M坐標為（0， ）

∵FG與MN相互垂直平分，

∴N（8﹣ ，2﹣ ）．

【解析】（1）利用翻折不變性即可解決問題；（2）求出E、F兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；（3）分三種情形①如圖1中，當四邊形MNGF是平行四邊形時，易知點N的橫坐標為﹣ ，由此即可解決問題；②如圖2中，當四邊形MNFG是平行四邊形時，易知點N的橫坐標為 ，由此即可解決問題；③如圖3中，當四邊形MFNG是平行四邊形時，易知點M坐標為（0， ），根據FG與MN相互垂直平分，利用中點坐標公式，計算即可；
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和勾股定理的概念，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．