Question

如圖，AP∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的延長線交AP于D．
（1）求證：AB=AD+BC；
（2）若BE=3，AE=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：延長AE交BC的延長線于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，在△ABE和△MBE中，

∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，在△ADE和△MCE中，
；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．
（2）解：由（1）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=4，BE=3，
∴，
∴S_{四邊形ABCD}=12．