Question

已知a，b，c，d是兩兩不等的正整數，并且a+b=cd，ab=c+d．求出所有滿足上述要求的四元數組（a，b，c，d）．

Answer 1

解：由于a≠b，所以當且僅當a=1或b=1時才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，則c+d=ab＞a+b=cd，
由此知c=1或d=1，
因此a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1，
如果a=1，則c=2，d=3，b=5或c=3，d=2，b=5；
b=1，則c=2，d=3，a=5或c=3，d=2，a=5；
c=1，則a=2，b=3，d=5或a=3，b=2，d=5；
d=1，則a=2，b=3，c=5或a=3，b=2，c=5．
故答案為：（1，5，2，3）、（1，5，3，2）、（5，1，2，3）、（5，1，3，2）、（2，3，1，5）、（2，3，5，1）、（2，3，5，1）、（3，2，1，5）．
分析：先根據當且僅當a=1或b=1時才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，則c+d=ab＞a+b=cd，由此知c=1或d=1，因此a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1，再根據a、b、c、d分別為1進行討論即可．
點評：本題考查的是方程的整數根問題，根據題意得出a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1是解答此題的關鍵．