Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O₁，AB=AC．⊙O₂與BC相切于點B，與AB相交于點E，與⊙O₁相交于點D，直線AD交⊙O₂于點F，交CB的延長線于點G．求證：
（1）EF∥CG；
（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

分析：（1）根據同弧所對的圓周角相等，可得∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，則∠FEB=∠C，由等邊對等角得，∠ABC=∠C，則∠FEB=∠ABC，由平行線的判定得EF∥CG；
（2）連接BF．可證△ADE∽△ABF，得

DE

BF

=

AE

AF

，再由EF∥CG，得

AB

AG

=

AE

AF

，從而可得

DE

BF

=

AB

AG

，再證BE=BF，得AB•BE=DE•AG．

解答：（1）證法一：連接BD．∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C．∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FEB=∠ABC，∴EF∥CG．
證法二：
也可證出∠AGB=∠EFD（同位角），得出EF∥CG．

（2）證法一：
∵EF∥CG，∴∠DFE=∠G．又∵∠DBE=∠DFE，∴∠DBE=∠G，
即∠DBE=∠CGA．∵∠ABC=∠C，∠ABC=∠BDE，∴∠BDE=∠C，
即∠BDE=∠GCA．∴△BDE∽△GCA．
∴

EB

AG

=

DE

CA

∵AB=AC，
∴AB•EB=DE•AG．
證法二：連接BF．
可證△ADE∽△ABF，得

DE

BF

=

AE

AF

．
由EF∥CG，得

AB

AG

=

AE

AF

，從而可得

DE

BF

=

AB

AG

再證BE=BF，得AB•BE=DE•AG．

點評：本題綜合考查了切線的性質，相似三角形，解直角三角形等知識點的運用．此題是一個大綜合題，難度較大．