Question

【題目】如圖1，是⊙O內接等邊三角形，直線MN與⊙O相切于A點，P是弧BC的中點，則.

（1）如圖2，正方形ABCD是⊙O內接正方形，直線MN與⊙O相切于A點，P是弧BC的中點，則________；

（2）如圖3，若正n邊形ABC……PQ是⊙O內接正n邊形，直線MN與⊙O相切于A點，P是弧BC的中點，若的度數小于，則n的最小值是_______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）10

【解析】

（1）連接OP、OB，如圖4，由題意可得∠COB=90°，進而可得∠COP的度數，再根據圓周角定理可得∠CAP的度數，然后用90°減去∠CAP即為所求；

（2）如圖5，連接OC、OP、OB，則∠AOB=∠BOC=，根據三角形的內角和定理和圓周角定理可用含n的代數式求出∠BAM和∠PAB，即得∠PAM，然后根據題意可得關于n的不等式，解不等式即可求得n的范圍，進一步即可求出結果.

解：（1）連接OP、OB，如圖4，∵正方形ABCD是⊙O內接正方形，∴∠COB=90°，

∵P是弧BC的中點，∴∠COP=45°，∴∠CAP==22.5°，

∴∠CAM－∠CAP=90°－22.5°=67.5°；

（2）如圖5，連接OC、OP、OB，則OA=OB，∠AOB=∠BOC=，

∴，

∴，

∵P是弧BC的中點，∴，

∴，

∴，

∵，∴，解得：，

由于n為整數，所以n的最小值為10.

故答案為：（1）；（2）10.