Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將對角線AC繞對角線交點O旋轉，分別交邊AD、BC于點E、F，點P是邊DC上的一個動點，且保持DP＝AE，連接PE、PF，設AE＝x（0＜x＜3）．

（1）填空：PC＝　 　，FC＝　 ��；（用含x的代數式表示）

（2）求△PEF面積的最小值；

（3）在運動過程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC=3﹣x，FC=x；（2）當x＝時，△PEF面積的最小值為；（3）PE⊥PF不成立理由見解析.

【解析】

（1）由矩形的性質可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可證△AEO≌△CFO，可得AE＝CF＝x，由DP＝AE＝x，可得PC＝3﹣x；

（2）由S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得S△EFP＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+，根據二次函數的性質可求△PEF面積的最小值；

（3）若PE⊥PF，則可證△DPE≌△CFP，可得DE＝CP，即3﹣x＝4﹣x，方程無解，則不存在x的值使PE⊥PF．

（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO

∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴AE＝CF

∵AE＝x，且DP＝AE

∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，

∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x

故答案為：3﹣x，x

（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，

∴S△EFP＝

＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+

∴當x＝時，△PEF面積的最小值為.

（3）不成立

理由如下：若PE⊥PF，則∠EPD+∠FPC＝90°

又∵∠EPD+∠DEP＝90°

∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°

∴△DPE≌△CFP（AAS）

∴DE＝CP

∴3﹣x＝4﹣x

則方程無解，

∴不存在x的值使PE⊥PF，

即PE⊥PF不成立．