Question

x，y為正整數，且兩個分數之和

x2-1

y+1

+

y2-1

x+1

也是整數，求證：這兩個分數都是整數．

Answer 1

證明：兩個數的和為自然數，則這兩個數要么都是分數，要么都是整數（在此題中為自然數）；
對于

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

的積有：

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1），
由于x與y是自然數，那么 （x-1）×（y-1）也是自然數，
對于兩個分數的乘積，可寫成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，其中a、b、m、n均為整數，
由于

1

mn

的存在，所以若兩個數相乘得到的結果是整數，那么它們中至少有一個是整數，
對于本題而言，由于

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1）為整數，
因此他們中至少有一個是整數，
又∵在（i）中知

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

要么同為整數，要么同為分數，
因此可得出結論：

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

都是整數．