Question

利客來超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如圖所示的一次函數關系．
（1）試求出y與x的函數關系式；
（2）設利客來超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）該超市經理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象過點（30，400）和（40，200）利用待定系數法求直線解析式；
（2）每天利潤=每千克的利潤×銷售量．據此列出表達式，運用函數性質解答；
（3）利用（2）的函數解析式即可得到關于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）設y=kx+b，由圖象可知，

30k+b=400 40k+b=200

，
解之，得

k=-20 b=1000

，
∴y=-20x+1000（30≤x≤50，不寫自變量取值范圍不扣分）．

（2）p=（x-20）y
=（x-20）（-20x+1000）
=-20x²+1400x-20000．
∵a=-20＜0，
∴p有最大值．
當x=-

1400

2×(-20)

=35時，p_最大值=4500．
即當銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元．

（3）當P=4180時，4180=-20x²+1400x-20000，
解得 x₁=31，x₂=39，
∵圖象開口向下，x=35時，p有最大值4500，
∴綠色食品銷售單價為31≤x≤39的范圍時符合要求．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及求二次函數最值等知識，畫出函數圖象結合圖形解答不等式的有關問題是目前解一元二次不等式的實用途徑，也是解某些有限制條件的最值問題的有效方法，具有直觀性，體現了數形結合的數學思想方法．