【題目】已知:在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線交x軸于點A,交y軸于點B,點D在直線AB上,點D的縱坐標為6,點C在x軸上且位于原點右側,連接CD,且
.
如圖1,求直線CD的解析式;
如圖2,點P在線段AB上
點P不與點A,B重合
,過點P作
軸,交CD于點Q,點E是PQ的中點,設P點的橫坐標為t,EQ的長為d,求d與t之間的函數關系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
如圖3,在
的條件下,以CQ為斜邊作等腰直角
,且點M在直線CD的右側,連接OE,OM,當
時,求點M的坐標.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)A、D兩點在直線y=2x+4上,可依條件建立方程求得坐標,再根據等腰三角形性質求得點C坐標,應用待定系數法求直線CD解析式;
(2)點P在線段AB上,可得P(t,2t+4),根據PQ∥x軸,可得P與Q縱坐標相等,求得Q(-t+2,2t+4),根據E為PQ中點,可得d=EQ=12PQ=-t+1;
(3)過M作SR⊥x軸于R,交PQ延長線于S,利用等腰三角形兩腰相等構造全等三角形,在TQ上截取TF=OT,構造等腰Rt△TOF,應用相似三角形判定和性質,建立方程求解.
(1)如圖1,
直線y=2x+4經過點A,D,
當y=0時,x=-2,
∴A(-2,0),
當y=6時,x=1,
∴D(1,6),
過點D作DL⊥x軸于點L,
∴L(1,0),
∴AL=3,
∵AD=CD,
∴AL=CL=3,
∴OC=1+3=4,
∴C(4,0),
設直線CD的解析式為y=kx+b,將C(4,0),D(1,6)代入得
,
解得k=-2,b=8,
∴直線CD的解析式為y=-2x+8;
(2)如圖2,過點P,Q分別作PF⊥x軸于點F,QG⊥x軸于點G,PQ交y軸于點T,
∵點P在直線y=2x+4上且點P的橫坐標為t,
∴點P的坐標為(t,2t+4),
∵PQ∥z軸,
∴∠OTQ=∠AOT=90°,
∴PQ⊥y軸,
∴OT=2t+4,
∴點Q的縱坐標為2t+4,
點Q在直線y=-2x+8上,當y=2t+4時,2t+4=-2x+8,解得x=-2t+2,
∴點Q的坐標為(-t+2,2t+4),
∵∠PFC=∠QGC=90°
∴PF∥QG
又∵PQ∥FG
∴四邊形PFGQ為平行四邊形
∴PQ=FG=(-t+2)-t=-2t+2
∵E為PQ的中點
∴EP=EQ=PQ=
(-2t+2)=-t+1
∴d=-t+1 (-1<t<0);
(3)如圖3,過點M作x軸的垂線,垂足為R,交PQ的延長線于點S,
∵∠CMQ=90°,CM=MQ
∴∠QCM=45°
在△OCM中,∠COM+∠OMC+∠OCM=180°
∴(90°-∠BCE-∠ECM)+(90°-∠OMQ)+(∠ACD+45°)=180°
又∵∠BOE+∠OMQ=∠ACD
∴∠EOM=45
令CR=m,
∵∠OTS=∠TOR=∠ORS=90°
∴四邊形ORST是矩形
∴RS=OT=2t+4,TS=OR=m+4
∴QS=m+4-(-t+2)=m+t+2
∵CM=QM,∠CRM=∠MSQ=90°,∠MCR=90°-∠CMR=∠QMS
∴△QMS≌△MCR
∴MS=CR=m,MR=QS=m+t+2
∵MS+MR=RS
∴m+m+t+2=2t+4
∴m=t+1
∴MR=t+3,OR=
t+5
在TQ上截取TF=OT=2t+4,連接OF,過點E作EH⊥OF于點H,
則∠COF=∠TFO=45°,OF=OT=
(2t+4),EF=FT-ET=2t+4-(-t+1+t)=2t+3,EH=FH=
EF=
(2t+3),
∴OH=OF-FH=(2t+4)-
(2t+3)=
(2t+5),
∵∠MOR=45°-∠FOM=∠EOH
∴tan∠MOR=tan∠EOH
在Rt△MOR中,tan∠MOR=,在Rt△OEH中,tan∠EOH=
,
∴
∴MROH=OREH
∴
解得(舍去)
∴
過點M作MK⊥y軸于點K,可證四邊形ORMK是矩形
∴
∴點M的坐標為.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知和
中,
,
,
,(其中
),連接
、
,點
為線段
的中點,連接
、
,
繞點
順時針旋轉,探究線段
與
的數量關系.
(1)如圖1,點落在
邊上時,探究
與
的數量關系,并說明理由;
(2)如圖2,點落在
內部時,探究
與
的數量關系,并說明理由;
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC 內接于⊙O,過點 A 作⊙O 的切線交 CB 的延長線于點 P,且∠PAB=45°.
(1)如圖 1,求∠ACB 的度數;
(2)如圖 2,AD 是⊙O 的直徑,AD 交 BC 于點 E,連接 CD,求證:AC CD ;
(3)如圖 3 ,在(2)的條件下,當 BC 4CD 時,點 F,G 分別在 AP,AB 上,連接 BF,FG,∠BFG=∠P,且 BF=FG,若 AE=15,求 FG 的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】抗擊疫情,眾志成城,舉國上下,共克時艱.為確定應對疫情影響穩外貿穩外資的新舉措,國務院總理李克強 3 月 10 日主持召開國務院常務會議,要求更好發揮專項再貸款再貼 現政策作用,支持疫情防控保供和企業紓困發展.會議指出,近段時間,有關部門按照國務 院要求,引導金融機構實施億元專項再貸款政策,以優惠利率資金有力支持了疫情防 控物資保供、農業和企業特別是小微企業復工復產.要進一步把政策落到位,加快貸款投放 進度,更好保障防疫物資保供、春耕備耕、國際供應鏈產品生產、勞動密集型產業、中小微 企業等資金需求.數據
億元用科學記數法表示為( )
A.元B.
元C.
D.
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【題目】綜合與探究 如圖,在平面直角坐標系中,直線與
軸交于點
,與
軸交于點
,拋物線
經過
兩點且與
軸的負半軸交于點
.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若為直線
上方拋物線上的一個動點,當
時,求
點的坐 標;
(3)已知分別是直線
和拋物線上的動點,當以
為頂點的四邊形 是平行四邊形,且以
為邊時,請直接寫出所有符合條件的點
的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了解七、八年級學生對“防溺水”安全知識的掌握情況,從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試,并對成績(百分制)進行整理、描述和分析.部分信息如下:
a.七年級成績頻數分布直方圖:
b.七年級成績在這一組的是:70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c.七、八年級成績的平均數、中位數如下:
年級 | 平均數 | 中位數 |
七 | 76.9 | m |
八 | 79.2 | 79.5 |
根據以上信息,回答下列問題:
(1)在這次測試中,七年級在80分以上(含80分)的有 人;
(2)表中m的值為 ;
(3)在這次測試中,七年級學生甲與八年級學生乙的成績都是78分,請判斷兩位學生在各自年級的排名誰更靠前,并說明理由;
(4)該校七年級學生有400人,假設全部參加此次測試,請估計七年級成績超過平均數76.9分的人數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某公司投入研發費用40萬元(40萬元只計入第一年成本),成功研發出一種產品.公司按訂單生產(產量=銷售量),第一年該產品正式投產后,生產成本為4元/件.此產品年銷售量y(萬件)與售價x(元件)之間滿足函數關系式y=﹣x+20.
(1)求這種產品第一年的利潤W(萬元)與售價x(元件)滿足的函數關系式;
(2)該產品第一年的利潤為24萬元,那么該產品第一年的售價是多少?
(3)第二年,該公司將第一年的利潤24萬元(24萬元只計入第二年成本)再次投入研發,使產品的生產成本降為3元/件.為保持市場占有率,公司規定第二年產品售價不超過第一年的售價,另外受產能限制,銷售量無法超過10萬件.請計算該公司第二年的利潤W2至少為多少萬元.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數的圖像過點,
,與
軸交于另一點
,且對稱軸是直線
.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)若是
上的一點,作
交
于
,當
面積最大時,求
的坐標;
(3)是
軸上的點,過
作
軸,與拋物線交于
,過
作
軸于
.當以
、
、
為頂點的三角形與
、
、
為頂點的三角形相似時,求
點的坐標.
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