Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點M（0，1）為圓心，以2長為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，連接AM并延長交⊙M于P點，連接PC交x軸于E．
（1）求證：點P是的中點；
（2）求直線PC的函數解析式，
（3）求的值．

Answer 1

證明：（1）連接PD、PB，如圖所示：
由題中條件可得CD、PA是⊙M的直徑，∴AM=2，MO=1，
∴∠MAO=30°，∠AMO=∠DMP=60°，
又∠DCP=∠DMP=30°，
∴∠PAB=∠DCP=30°，
∴=，即點P是的中點．

（2）由已知條件可得點C的坐標為（0，-1），
在△ABP中，由∠ABP=90°，即BP⊥AB，又M（0，1）
可得PB=2，
在△BOM中，可得OB=，
所以點P的坐標為（，2）
設PC的解析式為y=ax+b，
代入點P、C的坐標可得y=x-1．

（3）由于=，∴∠APC=∠EAC，
又∠ACE為公共角，
∴△ACE∽△PCA，又點M、C關于點O對稱，所以AM=AC．
==，
∴=（）²=．
分析：（1）要求與相等，即求解兩弧所對應的角相等即可；
（2）可先設出線段的解析式，再求出點P、C的坐標，代入即可；
（3）由題中條件不難得出△ACE∽△PCA，其面積比即為對應邊的平方比．
點評：本題主要考查了圓弧的性質以及相似三角形的判定及性質問題，其中涉及待定系數求一次函數的問題，以及相似三角形的面積與邊長之間的關系問題，能夠將所學知識與圓、坐標熟練地結合起來，從而熟練求解．