Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=4，AB=3，經過點B和點D的兩個動圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點G、H、E、F，則EF+GH的最小值是（ ）

A.3B.4C.4.8D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，設GH的中點為O，過O點作OM⊥AC，過B點作BN⊥AC，垂足分別為M、N，根據∠B＝90°可知，點O為過B點的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO＋OM為直徑，可知BO＋OM≥BN，故當BN為直徑時，直徑的值最小，即直徑GH也最小，同理可得EF的最小值．

如圖，設GH的中點為O，

過O點作OM⊥AC，過B點作BN⊥AC，垂足分別為M、N，

在Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，

∴AC＝＝5，

由面積法可知，BNAC＝ABBC，

解得BN＝2.4，

∵∠B＝90°，

∴GH為⊙O的直徑，點O為過B點的圓的圓心，

∵⊙O與AC相切，

∴OM為⊙O的半徑，

∴BO＋OM為直徑，

又∵BO＋OM≥BN，

∴當BN為直徑時，直徑的值最小，

此時，直徑GH＝BN＝2.4，

同理可得：EF的最小值為2.4，

∴EF＋GH的最小值是4.8．

故選C．