Question

附加題：
如圖，在直角坐標系中，點O₁在x軸上，⊙O₁與x軸交于點A（），B（）．直線y=x+1與坐標軸交于C、D兩點，直線在⊙O₁的左側．
（1）求△DOC的面積；
（2）當直線向右平移，第一次與⊙O₁相切時，求直線的解析式．

Answer 1

解：（1）如圖．
∵直線y=x+1與坐標軸交于C、D兩點，
∴點C的坐標為（0，1），點D的坐標為（-1，0），
∴△DOC的面積為：×OC×OD=×1×1=；

（2）如圖，當直線y=x+1向右平移，第一次與⊙O₁相切時，設所求直線l的解析式為y=x+b，過點O₁作O₁M⊥l于M，則O₁M=AB=1．
∵互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，
∴直線O₁M的斜率為-1．
設直線O₁M的解析式為y=-x+t，
將O₁點的坐標（，0）代入，
得-+t=0，解得t=，
則直線O₁M的解析式為y=-x+．
解方程組，得，
所以點M的坐標為（，）．
∵O₁M=1，
∴（-）²+（）²=1，
解得b₁=0，b₂=-2（不合題意，舍去）．
故所求直線的解析式為y=x．
分析：（1）先由直線的解析式y=x+1求出C、D兩點的坐標，再根據三角形的面積公式即可求解；
（2）先由直線平移不改變斜率，設出所求直線l的解析式為y=x+b，過點O₁作O₁M⊥l于M，根據切線的性質得出O₁M等于⊙O₁的半徑1，再由互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，可知直線O₁M的斜率為-1．設直線O₁M的解析式為y=-x+t，將O₁點的坐標（，0）代入，運用待定系數法求出直線O₁M的解析式，將它與所求直線l的解析式y=x+b聯立，得出用含b的代數式表示兩直線的交點M的坐標，然后根據O₁M=1列出關于b的方程，解方程即可．
點評：本題是一次函數的綜合題型，涉及到求直線與坐標軸的交點，計算三角形的面積，用待定系數法求函數的解析式，運用切線的性質及兩點間的距離公式，求兩直線的交點坐標，直線平移的性質等知識，綜合性較強，有一定難度．