Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB的中點，點E為AC延長線上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交CB的延長線于點F．

（1）求證：BF＝CE；

（2）若CE＝AC，用等式表示線段DF與AB的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）DFAB．

【解析】

（1）連接DC，由等腰直角△ABC的中線得CD=BD；等腰直角△ABC頂角平分線和底角，∠ABC與∠ABF互為鄰補角，由∠BCE=90°，∠DCB=45°，計算出∠DBF=∠DCB=135°；∠CHE+∠E=90°；∠CHE=∠DHF等量代換得∠F=∠E，從而證明△DBF≌△DCE，最后根據全等三角形的性質求BF=CE．
（2）連接BE，在△DCE中，點D和C分別是AB和AE的中點，得到DC∥BE，在（1）基礎上易證∠ABE=90°，AB=BE．計算出線段DE的長度與線段AB的關系，即求出線段DF與線段AB的關系．

（1）連接CD，DE與CF相交于點H，如圖1所示：

∵在Rt△ABC中，D為AB中點，

∴CD＝BD，

又∵AC＝BC，

∴DC⊥AB，

∴∠ABC＝∠DCB＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∵∠ABC+∠ABF＝180°，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，

∴∠DBF＝180°﹣45°＝135°，∠DCB＝90°+45°＝135°，

∴∠DBF＝∠DCB，

∵DF⊥DE，

∴∠DHF+∠F＝90°，

又∵∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF，

∴∠F＝∠E，

在△DBF和△DCE中

，

∴△DBF≌△DCE（AAS），

∴BF＝CE．

（2）線段DF與AB的數量關系：DFAB．

連接BE，設AD＝BD＝a，則AB＝2a．如圖2所示

∵△DBF≌△DCE，

∴DF＝DE．

∵CE＝AC，DA＝DB，

∴DC∥BE，

又∵∠ADC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∵∠A＝45°，

∴∠AEB＝45°，

∴AB＝BE＝2a，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：

DE2＝DB2+BE2，

∴DE，

∴DFa，

∴．

即DFAB．