Question

【題目】如圖所示，在中，，垂足為，平分，點為的中點，點為上的一點，連接、、、，．

（1）若，，求和的長．

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）BE=3，；（2）證明見解析

【解析】

（1）要求BE的長，在Rt△ABE中，利用勾股定理計算時，已經知道了AE的長，必須先求出AB的長，而在中，AB=CD,所以要求出CD的長，根據平行四邊形的的性質和DE平分，還有F是EC的中點，易證明，這樣就可求出BE的值；而要求FG的長，只要通過證明，得到CG=CF，由（1）中，得到點G是CD的中點，從而可得FG是△EDC的中位線，利用中位線的性質，在利用勾股定理求出線段DE的前提下易求出FG的值；

（2）延長AG與BC的延長線交于點H ,由（1）中得，只要證明即可．

（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，，．∴．

∵平分，∴，∴．∴．

∵點為的中點，∴，∴．

在中，由勾股定理得，∴．

在中，由勾股定理得．

∵，，，∴．∴．∴，∴是的中位線．∴．

（2）證明：如圖所示，延長，交于點．

∵，∴，．

∵，∴．∴．

∵，∴．∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．