Question

 如圖①，P為△ABC內一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C

（1）利用直尺和圓規，在圖②中作出△ABC的自相似點P（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；

（2）若△ABC的三內角平分線的交點P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

 

Answer 1

【答案】

(1)①作圖

作法如下：（i）在∠ABC內，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB內，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點P．

則P為△ABC的自相似點．  

②連接PB,PC．∵P為△ABC的內心，∴，．

P為△ABC的自相似點，由條件可知，只能是△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，

∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴．

∴該三角形三個內角的度數分別為，，．

【解析】（1）根據題中的信息，做出△ABC的自相似點P；

（2）由自相似點的含義可知△BCP∽△ABC，得出各角之間的關系。