Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取點O，以O為圓心，OF長為半徑作⊙O與AD相切于點P．若AB=6，BC=3 ，則下列結論：①F是CD的中點；②⊙O的半徑是2；③AE= CE；④S陰影= ．其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵AF是AB翻折而來，∴AF=AB=6，
∵AD=BC=3 ，∴DF= =3，
∴F是CD中點；∴①正確；②連接OP，

∵⊙O與AD相切于點P，∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，∴OP∥CD，
∴ = ，
設OP=OF=x，則 = ，解得：x=2，
∴②正確；③∵RT△ADF中，AF=6，DF=3，
∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，
∴∠EAF=∠EAB=30°，
∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，
∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，
∴EF=2EC，
∴AE=4CE，∴③錯誤；
④連接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG為等邊△；同理△OPG為等邊△；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH= OG= ，S扇形OPG=S扇形OGF ，
∴S陰影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）
=S矩形OPDH﹣ S△OFG=2× ﹣ （ ×2× ）= ．∴④正確；
所以答案是①②④．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．