Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若⊙O的半徑R=5，tanA=，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1） DE與⊙O相切； 理由見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出OD⊥DE，進而得出答案；

（2）得出△BCD∽△ACB，進而利用相似三角形的性質得出CD的長．

解：（1）直線DE與⊙O相切．

理由如下：連接OD．

∵OA=OD

∴∠ODA=∠A

又∵∠BDE=∠A

∴∠ODA=∠BDE

∵AB是⊙O直徑

∴∠ADB=90°

即∠ODA+∠ODB=90°

∴∠BDE+∠ODB=90°

∴∠ODE=90°

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O相切；

（2）∵R=5，

∴AB=10，

在Rt△ABC中

∵tanA=

∴BC=ABtanA=10×，

∴AC=，

∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB

∴△BCD∽△ACB

∴

∴CD=．