Question

【題目】如圖，直線y=-x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點B，C和點A(-1，0)．

(1)求B，C兩點的坐標．

(2)求該二次函數的解析式．

(3)若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

(4)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）y=-x2+x+2；（3）存在，P1(，4)，P2()，P3(，-)；（4）當a=2時，S四邊形CDBF的最大值=，此時E(2，1)．

【解析】

（1）分別令解析式y=-x+2中x=0，y=0，求出點B，點C的坐標；

（2）二次函數的解析式為，將點A、B、C的坐標代入解析式，求出a，b，c的值，進而求出二次函數的解析式；

（3）由（2）的解析式求出頂點坐標，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于，以點D為圓心，CD為半徑作圓交對稱軸于，，作CE垂直對稱軸于點E，由等腰三角形的性質和勾股定理就可以求出結論；

（4）設點E的坐標為，就可以表示出F的坐標，由求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論．

解：(1)在y=-x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，

即B(4，0)，C(0，2)．

(2)設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，

將點A，B，C的坐標代入解析式，得

，

解得

即該二次函數的解析式為y=-x2+x+2．

(3)存在．∵y=-x2+x+2，

∴y=-(x-)2+，

∴拋物線的對稱軸是直線x=，∴OD=．

∵C(0，2)，∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．

∵△PCD是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3=CD．

如圖①所示，作CH⊥對稱軸于點H，∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1(，4)，P2()，P3(，-)．

(4)∵B(4，0)，C(0，2)，

∴直線BC的解析式為y=-x+2．

如圖②，過點C作CM⊥EF于點M，

設E(a，-a+2)，F(a，-a2+a+2)，

∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN

=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)

=-a2+4a+

=-(a-2)2+，

∴當a=2時，S四邊形CDBF的最大值=，此時E(2，1)．