Question

【題目】【傾聽理解】（這是習題講評課上師生圍繞一道習題的對話片斷）

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C是弧AB上的一個動點(不與A、B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E.

師：當BD＝1時，同學們能求哪些量呢？

生1：求BC、OD的長．

生2：求、的長．

……

師：正確！老師還想追問的是：去掉“BD＝1”，大家能提出怎樣的問題呢？

生3：求證：DE的長為定值．

生4：連接AB，求△ABC面積的最大值．

……

師：你們設計的問題真精彩，解法也很好！

【一起參與】

（1）求“生2”的問題:“當BD＝1時，求、的長”；

（2）選擇“生3”或“生4”提出的一個問題，并給出解答．

Answer 1

【答案】（1）的長為π；（2）的長為π；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）如圖：

連接OC，當BD=1時，由“垂徑定理”可得BC=2，從而可證△OBC為等邊三角形，得到∠BOC=60°，∠AOC=30°，就可以由弧長公式求兩條弧的長了；

（2）①“生3的問題”，如圖：

連接AB，在Rt△AOB中，由已知易得，由已知和“垂徑定理”可得D、E分別是BC和AC的中點，從而可得DE是△OAB的中位線，由“三角形中位線定理”可得DE=AB=；

②“生4的問題”，如圖：

由①可知， ，OC=2，當點C為的中點時，OC⊥AB，此時OF最短為，CF最長為，△ABC面積最大；

試題解析：

（1）連OC，當BD＝1時，

∵OD⊥BC

∴BC＝2BD＝2，∴△OBC是等邊三角形．∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝30°，

∴的長為， 的長為．

（2）生3的問題：連結AB，在Rt△AOB中，AB＝，

∴DE＝AB＝．

生4的問題：∵當點C為的中點時，OC⊥AB，此時OF最短，

∴ 當點C為中點時，CF最長，由AB=是定值，可知此時，△ABC面積最大，

∵OC⊥AB，

∴OF=AB=，

∴CF=2-，

∴S△ABC最大=.