Question

【題目】如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于C點，連接AC，BC．
（1）求證：四邊形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，

∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，

∴AC=AP，

同理BC=PB，

∴AC=BC=BP=AP，

∴四邊形ACBP是菱形；

（2）解：連接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，

∴OA=1，∠AOP=60°，

∴AD= OA= ，

∴PD= ，

∴PC=3，AB= ，

∴菱形ACBP的面積= ABPC=

【解析】（1）連接AO，BO，根據PA、PB是⊙O的切線，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，由三角形的內角和得到∠AOP=60°，根據三角形外角的性質得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到結論；（2）連接AB交PC于D，根據菱形的性質得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．