Question

細心觀察，認真分析，然后解答問題：

( 1 )2+1=2，S1= 1 2 ；( 2 )2+1=3，S2= 2 2 ； ( 3 )2+1=4，S3= 3 2 ；…

（1）用含n（n是正整數）的等式表示上述變化規律

（

n-1

）²+1²=n，S_n=

n

2

；
（2）OA₁₀的長

10

；
（3）求出

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

+…+

S

2 10

的值．

Answer 1

分析：（1）觀察上述結論及所給圖形，會發現第n個圖形的一直角邊就是

n

，然后利用面積公式可得．
（2）將n=10，代入（1）中的表達式即可得出答案；
（3）把n=1，2，3…10，分別代入到（1）所推出的結論S_n=

n

，即可求出S₁²，S₂²，S₃²，…S₁₀²的值，即可推出結果．

解答：解：（1）根據所給圖形，可得OA_n=（

n-1

）²+1²=n，則S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；
即可得規律：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；

（2）由（1）得OA_n=

n

，故OA₁₀=

10

；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²
=

1

4

+

2

4

+

3

4

+

4

4

+

5

4

+…+

10

4

=

55

4

．
故答案為：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

n

2

；

10

．

點評：此題考查了勾股定理的知識，關鍵是觀察題中給出的結論及所給圖形的特點，由此結論找出規律進行計算，千萬不可盲目計算．