Question

（2012•安慶二模）在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4，M、N分別是底邊BC和腰CD上的兩個動點，當點M在BC上運動時，始終保持AM⊥MN、NP⊥BC．
（1）證明：△CNP為等腰直角三角形；
（2）設NP=x，當△ABM≌△MPN時，求x的值；
（3）設四邊形ABPN的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并指出x取何值時，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少．

Answer 1

分析：（1）過D做BC的垂線，設垂足為F，則DF=AB=3，而FC=BC-BF=3，即△DFC是等腰直角三角形，所以∠C=45°，因為NP⊥BC，所以△NPC是等腰直角三角形；
（2）當△ABM≌△MPN時，則BM=NP=PC=x，AB=MP=3，又因為MP=BC-（BM+PC）=4-2x，進而求出x的值；
（3）由題意可知四邊形ABPN是直角梯形，根據梯形的面積公式和二次函數的性質即可求出y與x之間的函數關系式，由此可指出x取何值時，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少．

解答：解：（1）過D做BC的垂線，設垂足為F，
∵∠B=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DFB=90°，
∴四邊形ADFB是矩形，
∴AB=DF=3，AD=BF=1
∵BC=4，
∴FC=BC-BF=3，
∴DF=FC，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴NP⊥BC，
∴△NPC是等腰直角三角形；

（2）∵△ABM≌△MPN，
∴BM=NP=PC=x，AB=MP=3，
又∵MP=BC-（BM+PC）=4-2x，
∴4-2x=3，得x=

1

2

；

（3）∵AB⊥BC，NP⊥BC，
∴四邊形ABPN為直角梯形，
∴y=

1

2

×（AB+PN）×BP=

1

2

（3+x）×（4-x）
=

1

2

（-x²+x+12）
=-

1

2

x²+

1

2

x+6，
∴當x=

1

2

時，y有最大值

49

8

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的性質以及直角梯形的面積公式和二次函數的性質，題目的綜合性很好，難度中等．