Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，點D在線段BC上運動（不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．

（1）當∠BDA＝105°時，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°；

（2）若DC＝AB，求證：△ABD≌△DCE；

（3）在點D的運動過程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時∠BDA的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，105；（2）見解析；（3）當△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數為100°或115°.

【解析】

（1）利用鄰補角的性質、等邊對等角和三角形內角和定理解題即可；

（2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE；

（3）根據等腰三角形的腰的情況分類討論，在利用等腰三角形的性質和三角形的外角即可分別求出∠BDA.

解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∠ADE＝50°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝25°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=25°

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝50°，

∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，

故答案為：25，105；

（2）∵∠B＝∠C＝50°，

∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°，

又∵∠ADE＝50°，

∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°，

∴∠ADB＝∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS）．

（3）當△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數為100°或115°，

①當ED=EA時，

∴∠DAE＝∠EDA=50°，

∴∠BDA＝∠C＋DAE＝100°；

②當DA=DE時，

∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°，

∴∠BDA＝∠C＋DAE＝115°，

③當AD=AE時，

∠ADE=∠AED=50°

∵∠C=50°

∠AED是△EDC的外角

∴∠AED＞∠C，與∠AED=50°矛盾

所以此時不成立；

綜上所述：當△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數為100°或115°．