Question

拋物線y=ax²-4ax+b經過A（1，0），F（4，-3），與y軸交于點C，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，連接PC，將線段PC繞著P點逆時針旋轉90°至線段PC₁，使得C₁落在拋物線上？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點D是拋物線在x軸上方部分的一點，過D作DE∥AC與y軸交于E，且四邊形ACED是等腰梯形，求出D的坐標．

Answer 1

解：（1）把A（1，0），F（4，-3）代入y=ax²-4ax+b中，
得，
解得，
∴y=-x²+4x-3；

（2）如圖1，設P（2，t），
分別過C、C′作對稱軸的垂線，垂足為G、H，
∵PC=PC′，∠CPC′=90°，由互余關系可證△PCG≌△C′PH，
∴PH=CG=2，HC′=PG=t+3，
則C₁（t+5，t-2），代入y=-x²+4x-3中，得
t-2=-（t+5）²+4（t+5）-3，
解得t=-1或t=-6（不合題意，舍掉），
∴P（2，-1）；

（3）如圖2，延長DA交y軸于點M，依題意，
∠CED=∠ADE，MD=ME，則MA=MC，
在Rt△AOM中，OM²+OA²=AM²，即OM²+1²=（3-OM）²，
解得OM=，
∴直線DA的解析式是y=x-，
聯立，
解得或，
∴D（，）

分析：（1）將A、F兩點坐標代入拋物線解析式可求a、b的值，確定拋物線解析式；
（2）由（1）可知，拋物線對稱軸為x=2，設P（2，t）利用垂直關系構造兩個三角形全等，可得C₁（t+5，t-2），將C₁點坐標代入拋物線解析式求t即可；
（3）延長DA交y軸于點M，由等腰梯形構造等腰三角形，可得MA=MC，在Rt△AOM中，由勾股定理求OM，根據A、M兩點坐標求直線AD解析式，與拋物線解析式聯立，求D點坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據已知條件求拋物線解析式，由互余關系，旋轉的性質構造全等三角形，由等腰梯形構造等腰三角形，體現了轉化的思想．