Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

萊昂哈德歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面就是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內心，則OI2＝R2﹣2Rr．

如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內切圓，⊙I與AB相切于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．

∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．

∴△MDI∽△ANI．

∴，

∴IAID＝IMIN，①

如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF．

∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE＝90°．

∵⊙I與AB相切于點F，所以∠AFI＝90°，

∴∠DBE＝∠IFA．

∵∠BAD＝∠E（同弧所對的圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB，

∴．

∴IABD＝DEIF②

任務：（1）觀察發現：IM＝R+d，IN＝　　（用含R，d的代數式表示）；

（2）請判斷BD和ID的數量關系，并說明理由．

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1），（2）的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

（4）應用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6cm, BC=8cm,點O為AB中點，點I是△ABC的內心，則OI=　　cm．

Answer 1

【答案】（1）R﹣d；（2）BD＝ID，理由見解析 ；（3）見解析；（4）．

【解析】

（1）由IM+IN=2R可得出結果；

（2）過點I作⊙O直徑MN，連接AI交⊙O于D，連接MD，BI，BD，證明∠BID＝∠DBI即可；

（3）應用（1）（2）的結論即可；

（4）由題意可知，O為△ABC的外心，求出外接圓和內切圓半徑，然后將數據直接代入公式計算即可.

解：（1）∵IM+IN=2R

∴IN=2R-IM=R﹣d

故答案為：R﹣d；

（2）BD＝ID，理由：

如圖3，過點I作⊙O直徑MN，連接AI交⊙O于D，連接MD，BI，BD，

∵點I是△ABC的內心

∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI

∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI

∴∠BID＝∠DBI

∴BD＝ID

（3）由（2）知：BD＝ID

∴IAID＝DEIF

∵DEIF＝IMIN

∴2Rr＝（R+d）（R﹣d）

∴R2﹣d2＝2Rr

∴d2＝R2﹣2Rr

（4）AB=cm

∵O為Rt△ABC斜邊上的中點，

∴O為△ABC的外心，

∴R=AB=5cm，

△ABC的內切圓半徑cm

∴cm

故答案為：．