Question

【題目】問題：如圖①，在直角三角形中，，于點，可知（不需要證明）；

（1）探究：如圖②，，射線在這個角的內部，點、在的邊、上，且，于點，于點．證明：；

（2）證明：如圖③，點、在的邊、上，點、在內部的射線上，、分別是、的外角。已知，．求證：；

（3）應用：如圖④，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5.

【解析】

（1）利用AAS證明即可；

（2）利用AAS證明即可；

（3）先利用AAS證明△ABE≌△CAF，然后求△ABD的面積即可.

解：（1）∵，，

∴

∴∠DBA＋∠BAD=90°，∠BAD＋∠FAC=90°

∴∠DBA=∠FAC

在△ABD和△CAF中，

∴

；

（2）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC

∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC

在△ABE和△CAF中

∴.

；

（3）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC

∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC

在△ABE和△CAF中

∴

∴△ABE的面積＝△CAF的面積

∵

∴

∴

∴.