Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點A（x₀，0）和點B（2，0），與y軸的正半軸交于點C，其對稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點A關于y軸的對稱點為點D．
（1）確定A、C、D三點的坐標；
（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）若過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點，以MN為一邊，拋物線上任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關于P點縱坐標y的函數解析式；
（4）當＜x＜4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A與點B關于直線x=-1對稱，點B的坐標是（2，0）
∴點A的橫坐標是=-1，x₀=-4，
故點A的坐標是（-4，0）
∵tan∠BAC=2即=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵點A關于y軸的對稱點為D
∴點D的坐標是（4，0）

（2）設過三點的拋物線解析式為y=a（x-2）（x+4）
代入點C（0，8），解得a=-1
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+8；

（3）∵拋物線y=-x²-2x+8與過點（0，3）平行于x軸的直線相交于M點和N點
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4
而拋物線的頂點為（3，-1）
當y＞3時
S=4（y-3）=4y-12
當-1≤y＜3時
S=4（3-y）=-4y+12

（4）以MN為一邊，P（x，y）為頂點，且當＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大
∴當x=3，y=-1時，h=4
S=|MN|•h=4×4=16
∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16．
分析：（1）因為已知B點坐標和對稱軸，所以可根據對稱軸公式求出A點坐標；根據銳角三角函數的定義可求出C點坐標，根據x軸上的點關于y軸對稱的特點可求出D點坐標．
（2）因為B、D兩點為拋物線與x軸的交點，所以可設出二次函數的交點式，再用待定系數法求出函數的解析式．
（3）根據過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）中的拋物線相交于M．N，可求出M、N的坐標，及兩點之間的距離，再根據拋物線的頂點坐標求出P點縱坐標y的取值范圍，根據其取值范圍即可求出S與y之間的函數關系式．
（4）因為MN之間的距離為定值，故只要在＜x＜4范圍內|y|最大，則平行四邊形的面積最大．根據（3）中S與y之間的函數關系式即可求出S的最大值．
點評：此題比較復雜，閱讀量較大，把動點問題與二次函數的性質相結合，有一定的綜合性，但難度適中，是一道較好的題目．