Question

如圖，二次函數y=-

1

2

x2+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）連接PC，設△PQC的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數解析式求出點A、B、C的坐標，然后設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（2）分點P在OA上與OB上兩種情況分別表示出OP、CQ的長度，再根據三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）根據勾股定理列式求出AC的長度，再分AC、BC是底邊與腰討論求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-

1

2

x²+2=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，點A（-2，0），B（2，0），
令x=0，則y=2，
所以，點C的坐標是（0，2），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=0 b=2

，
解得

k=1 b=2

，
所以，直線AC的解析式為y=x+2；

（2）①點P在OA上，即0＜t＜2時，
∵點P、Q的速度都是每秒1個單位，
∴OP=2-t，OQ=t，
∴△PQC的面積S=

1

2

t（2-t）=-

1

2

t²+t，
②點P在OB上，即2＜t≤4時，
∵點P、Q的速度都是每秒1個單位，
∴OP=t-2，OQ=t，
∴△PQC的面積S=

1

2

t（t-2）=

1

2

t²-t，
∴S=

- 1 2 t2+t(0＜t＜2) 1 2 t2-t(2＜t≤4)

；

（3）∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=OB=OC=2，
根據勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

22+22

=2

2

，
如圖，①點M為坐標原點（0，0）時，AC、BC為底邊，
②AC、BC為底邊時，若OM=OC=2，則點M（0，-2），
若CM=AC=2

2

，則OM=CM-OC=2

2

-2，
此時點M（0，2-2

2

），
或OM=CM+OC=2

2

+2，
此時點M（0，2+2

2

），
所以，點M的坐標為（0，0）或（0，-2）或（0，2-2

2

）或（0，2+2

2

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求一次函數解析式，三角形的面積，等腰三角形的性質，（2）要分兩段求解并且t的值不能取2，（3）要分情況討論，作出圖形更形象直觀．