Question

（2013•南漳縣模擬）如圖，已知△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm．P點由A點出發，以1cm/s的速度沿線段AB方向向B點勻速運動，同時Q點由B點出發，以1cm/s的速度沿線段BC方向向C點勻速運動，當其中一個點到達終點時，兩個點同時停止運動，連接PQ．設運動的時間為t（單位：s） 
（1）當t為何值時，△PBQ與△ABC相似；
（2）運動過程中，是否存在某時刻t，使線段PQ平分△ABC的面積？若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，四邊形APQC的面積最��？并求出此時的最小值．

Answer 1

分析：（1）兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，根據三角形相似的性質得出

BP

BA

=

BQ

BC

，代入求出即可；②當△BPQ∽△BCA時，根據三角形相似的性質得出

BP

BC

=

BQ

AB

，代入求出即可；
（2）過P作PE⊥BC于E，根據勾股定理的逆定理求出∠C=90°，推出△BPE∽△BAC，得出

BP

BA

=

PE

AC

，代入求出PE=

4

5

（5-t），假如存在某時刻t，使線段PQ平分△ABC的面積，得出

1

2

•t•

4

5

（5-t）=

1

2

×

1

2

×4×3，求出t即可；
（3）S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ，代入得出二次函數解析式，求出頂點坐標即可．

解答：解：（1）分為兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，
∵根據三角形相似的性質得：

BP

BA

=

BQ

BC

，
∴

5-t

5

=

t

3

，
解得t=

15

8

；
②當△BPQ∽△BCA時，
∵根據三角形相似的性質得：

BP

BC

=

BQ

AB

，
∴

5-t

3

=

t

5

，
解得t=

25

8

＞3，不符合題意舍去；
綜合上述：當t為

15

8

s時，△PBQ與△ABC相似；


（2）不存在某時刻t，使線段PQ平分△ABC的面積，
理由是：如圖2，過P作PE⊥BC于E，
∵AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴

BP

BA

=

PE

AC

，
∴

5-t

5

=

PE

4

，
∴PE=

4

5

（5-t），
假如存在某時刻t，使線段PQ平分△ABC的面積，
則

1

2

BQ×PE=

1

2

×

1

2

AC×BC，
∴

1

2

•t•

4

5

（5-t）=

1

2

×

1

2

×4×3，
整理，得2t²-10t+15=0，
△=（-10）²-4×2×15=-20＜0，
此方程無解，
∴不存在某時刻t，使線段PQ平分△ABC的面積；

（3）S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ
=

1

2

×4×3-

1

2

•t•

4

5

（5-t）
=

2

5

t²-2t+6
=

2

5

（t-

5

2

）²+

7

2

，
即當t=

5

2

s時，四邊形APQC的面積S值最小，最小值是

7

2

cm²．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性質和判定，解一元二次方程，三角形的面積的應用，主要考查學生應用定理進行計算的能力．